Grundlagen
Was ist eine Primzahl?
Eine natürliche Zahl größer als 1 mit genau zwei positiven Teilern: 1 und sich selbst.
Ist 1 eine Primzahl?
Nein, 1 hat nur einen Teiler.
Ist 2 eine Primzahl?
Ja, 2 ist die kleinste und einzige gerade Primzahl.
Warum ist 2 eine Primzahl?
2 ist nur durch 1 und 2 teilbar.
Warum ist 4 keine Primzahl?
4 ist zusätzlich durch 2 teilbar (4 = 2 × 2).
Ist 0 eine Primzahl?
Nein, 0 ist durch jede Zahl teilbar.
Was ist die kleinste Primzahl?
Die 2.
Gibt es eine größte Primzahl?
Nein. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Was ist eine zusammengesetzte Zahl?
Eine Zahl mit mehr als zwei Teilern, z. B. 6 oder 12.
Ist jede ungerade Zahl eine Primzahl?
Nein. 9 ist ungerade, aber 9 = 3 × 3.
Ist jede Primzahl außer 2 ungerade?
Ja. Jede Primzahl größer als 2 ist ungerade.
Was ist der Unterschied zwischen Primzahl und Teiler?
Ein Teiler teilt eine Zahl ohne Rest; eine Primzahl hat selbst nur zwei Teiler.
Primzahltest
Wie prüfe ich, ob eine Zahl eine Primzahl ist?
Teste, ob außer 1 und der Zahl selbst ein weiterer Teiler existiert – höchstens bis zur Wurzel.
Reicht es, bis zur Wurzel zu testen?
Ja. Gibt es bis zur Quadratwurzel keinen Teiler, ist die Zahl prim.
Was ist ein deterministischer Primzahltest?
Ein Test, der mit Sicherheit entscheidet, ob eine Zahl prim ist.
Was ist ein probabilistischer Primzahltest?
Ein Test, der mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit entscheidet, z. B. der Fermat-Test.
Was ist der Fermat-Primzahltest?
Ein schneller probabilistischer Test, der den kleinen Satz von Fermat nutzt.
Was ist der Miller-Rabin-Test?
Ein probabilistischer Test, der zuverlässiger als der Fermat-Test ist und große Zahlen schnell prüft.
Welchen Test nutzt dieses Tool?
Probedivision für kleinere Zahlen, Miller-Rabin für sehr große Zahlen.
Wie schnell ist ein Primzahltest?
Für normale Zahlen praktisch sofort; für sehr große Zahlen nutzt man effiziente Verfahren.
Primfaktorzerlegung & Teiler
Was ist eine Primfaktorzerlegung?
Die Darstellung einer Zahl als Produkt von Primzahlen, z. B. 84 = 2² × 3 × 7.
Wie zerlege ich eine Zahl in Primfaktoren?
Wiederholt durch die kleinste passende Primzahl teilen.
Ist die Primfaktorzerlegung eindeutig?
Ja, bis auf die Reihenfolge (Fundamentalsatz der Arithmetik).
Was ist ein Primteiler?
Ein Teiler, der selbst eine Primzahl ist.
Wie finde ich alle Teiler einer Zahl?
Alle Zahlen testen, die ohne Rest teilen – oder den Teiler-Rechner nutzen.
Was bedeutet teilbar?
Die Division geht ohne Rest auf.
Wie viele Teiler hat eine Zahl?
Aus der Primfaktorzerlegung: Exponenten je um 1 erhöhen und multiplizieren.
Wozu dient die Primfaktorzerlegung?
Für GGT, KGV, Brüche kürzen und Kryptografie.
Listen & Tabellen
Welche Primzahlen gibt es bis 100?
25 Stück: 2, 3, 5, 7, 11, … 97.
Welche Primzahlen gibt es bis 1000?
Genau 168 Primzahlen.
Wie viele Primzahlen gibt es bis 10.000?
1229 Primzahlen.
Auf welche Ziffern enden Primzahlen?
Außer 2 und 5 stets auf 1, 3, 7 oder 9.
Was sind Zwillingsprimzahlen?
Primzahlpaare mit Abstand 2, z. B. 11 und 13.
Was ist eine Mersenne-Primzahl?
Eine Primzahl der Form 2^p − 1.
Sieb des Eratosthenes
Was ist das Sieb des Eratosthenes?
Ein Verfahren, das alle Primzahlen bis zu einer Grenze findet, indem es Vielfache streicht.
Wie funktioniert das Sieb?
Vielfache jeder Primzahl streichen; die übrigen Zahlen sind prim.
Bis wohin muss man streichen?
Bis zur Wurzel der Grenze.
Wer war Eratosthenes?
Ein griechischer Gelehrter der Antike.
Schule, Studium & Anwendung
Ab welcher Klasse lernt man Primzahlen?
Meist ab Klasse 5 oder 6.
Warum sind Primzahlen wichtig?
Sie sind die Bausteine aller Zahlen und Grundlage der modernen Verschlüsselung.
Wie hängen Primzahlen mit Kryptografie zusammen?
Verfahren wie RSA nutzen, dass große Zahlen schwer zu faktorisieren sind.
Was ist RSA?
Ein Verschlüsselungsverfahren, das auf großen Primzahlen beruht.
Wer bewies, dass es unendlich viele Primzahlen gibt?
Euklid, bereits in der Antike.
Was ist der Fundamentalsatz der Arithmetik?
Jede Zahl größer als 1 hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung.
Was ist der GGT?
Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen.
Was ist das KGV?
Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen.
Wie hilft die Primfaktorzerlegung beim Kürzen?
Gemeinsame Primfaktoren in Zähler und Nenner lassen sich streichen.
Sind Primzahlen zufällig verteilt?
Ihre Verteilung folgt Mustern, die der Primzahlsatz näherungsweise beschreibt.
Was ist der Primzahlsatz?
Er beschreibt, wie häufig Primzahlen bis zu einer Grenze ungefähr vorkommen.
Wofür braucht man Primzahlen im Alltag?
Vor allem für sichere Verschlüsselung beim Online-Banking und im Internet.
Weitere häufige Fragen
Ist 3 eine Primzahl?
Ja. 3 ist nur durch 1 und 3 teilbar.
Ist 9 eine Primzahl?
Nein. 9 = 3 × 3.
Ist 11 eine Primzahl?
Ja. 11 hat nur die Teiler 1 und 11.
Ist 49 eine Primzahl?
Nein. 49 = 7 × 7.
Ist 51 eine Primzahl?
Nein. 51 = 3 × 17.
Ist 91 eine Primzahl?
Nein. 91 = 7 × 13.
Wie spreche ich 'prim' richtig aus?
Wie 'Primzahl' – von lateinisch primus, der Erste.
Was ist eine natürliche Zahl?
Eine der Zählzahlen 0, 1, 2, 3, … – Primzahlen sind eine Teilmenge davon.
Können Kommazahlen Primzahlen sein?
Nein. Nur natürliche Zahlen größer als 1 können prim sein.
Können negative Zahlen Primzahlen sein?
Nein. Primzahlen sind als natürliche Zahlen definiert.
Was ist die zehnte Primzahl?
Die 29 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29).
Wie viele gerade Primzahlen gibt es?
Genau eine: die 2.
Was ist eine Primzahlzwilling-Vermutung?
Die unbewiesene Annahme, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.
Ist die Goldbachsche Vermutung bewiesen?
Nein. Sie besagt, dass jede gerade Zahl > 2 Summe zweier Primzahlen ist.